Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Giải bất phương trình $P < 1,$ tìm $x$ sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

c)  Biến đổi biểu thức $P$  về dạng $a + \frac{b}{{MS}}$ với $a,\,\,b \in \mathbb{Z}.$

Từ đó, biểu thức $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...$

Đối chiếu với điều kiện của $x$ rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức $P.$   

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 5\sqrt x  + 6 \ne 0\\\sqrt x  - 2 \ne 0\\3 - \sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) \ne 0\\\sqrt x  \ne 2\\\sqrt x  \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}P = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}$

b) Tìm $x$  để $P < 1.$

ĐKXĐ: $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$ 

$\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được $0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4$ thì $P < 1.$

c) Tìm các giá trị nguyên của $x$  để $P$  nguyên.

ĐKXĐ: $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$ 

Ta có: $P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 4}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 =  - 4\\\sqrt x  - 3 =  - 2\\\sqrt x  - 3 =  - 1\\\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 2\\\sqrt x  - 3 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 5\\\sqrt x  = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,(ktm)\\x = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 49\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\}$ thì $P$  nguyên.