Phương pháp giải:

Hai đường thẳng $y = ax + b;y = a'x + b'$ song song với nhau khi $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Xét hai hàm số bậc nhất $y = \left( {m + 1} \right)x + 2m$ và  $y = \left( {2m + 1} \right)x + 3m$ (ĐK: $m \ne  - 1;\,m \ne \frac{{ - 1}}{2}$)

1) Hai đường thẳng song song khi $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 2m + 1\\2m \ne 3m\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m \ne 0\end{array} \right.$

Vậy không tồn tại giá trị của $m$ thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm rồi biện luận theo $m$ phương trình thu được.

Tìm tung độ giao điểm rồi cho tung độ đó bằng $0.$

Lời giải chi tiết:

Để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục hoành.

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$\left( {m + 1} \right)x + 2m = \left( {2m + 1} \right)x + 3m \Leftrightarrow x.m =  - m$

+) Nếu $m = 0$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

+) Khi $m \ne 0$ ta có hoành độ giao điểm là $x =  - 1.$

Với $x =  - 1$ ta có tung độ giao điểm là $y = \left( {m + 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2m = m - 1$

Để thỏa mãn đề ta cần có tung độ giao điểm bằng $0.$

$y = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Vậy $m = 1.$

Chọn B.