Câu hỏi:
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB=BC=4. Gọi H là trung điểm của AB, SH⊥(ABC). Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SAB) là:
Phương pháp giải:
+) Xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng cách xác định hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt và cùng vuông góc với giao tuyến BC.
+) Gọi D là trung điểm của SA.
+) Chứng minh BD⊥SA bằng cách chứng minh tam giác SAB đều.
+) Chứng minh CD⊥SA bằng cách chứng minh tam giác SCA cân tại C.
+) Chứng minh ⇒^((SAB);(SAC))=^(CD;BD)
+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có: BC⊥ABBC⊥SH}⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB
(SBC)∩(ABC)=BCSB⊥BCAB⊥BC}⇒^((SBC);(ABC))=^(SB;AB)=^SBA=600
Lại có: H là trung điểm của AB mà SH⊥AB nên tam giác SAB cân tại S
có góc SBA = 600 nên
⇒ΔSAB đều. Gọi D là trung điểm của SA ⇒BD⊥SA
(SAC)∩(SAB)=SA
Ta có:
BD=4√32=2√3;SD=AD=12SA=12AB=2;AC=4√2;SC=√SB2+BC2=√42+42=4√2
⇒ΔSAC cân tại C ⇒CD⊥SA
(SAC)∩(SAB)=SACD⊥SABD⊥SA}⇒^((SAB);(SAC))=^(CD;BD)
Ta có:CD=√AC2−AD2=√32−4=2√7⇒cos^BDC=BD2+CD2−BC22.BD.CD=12+28−162.2√3.2√7=√3√7
Chọn C.