Bài 8 trang 29 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC}$

B. $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}$

C. $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {CD}$

D. $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CD}$

Lời giải chi tiết

Ta có: tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên: $\left\{ \matrix{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.$

+) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA}$$= 2\overrightarrow {BC}$ nên A đúng.

+) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {AB}$ nên B sai.

+) $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD}$

$= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {DC}= 2\overrightarrow {DC} \ne 2\overrightarrow {CD}$ nên C sai.

+) $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} \ne \overrightarrow {CD}$ nên D sai.

Vậy A đúng.

Chú ý:

Có thể giải thích câu A và C bằng cách sử dụng điểm O là giao điểm hai đường chéo như sau:

$\begin{array}{l} + )\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {BO} \\ = 2\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BO} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 2\overrightarrow {BC} \\ + )\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OC} - 2\overrightarrow {OD} \\ = 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = 2\overrightarrow {DC} \end{array}$

Loigiaihay.com