Bài 7 trang 93 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 2)$ và bán kính bằng $3$. Chứng minh rằng tập hợp các điểm $M$ từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với $(C)$ tạo với nhau một góc $60^0$ là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

 

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau ta có $\displaystyle MI$ là tia phân giác góc $\displaystyle M$

$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \widehat {AMI} = {30^0}$

Tam giác $\displaystyle IAM$ vuông tại $\displaystyle A$ (vì $IA \bot MA$) có:

$\displaystyle \sin \widehat {AMI} = \frac{{IA}}{{IM}} \Rightarrow IM = {{IA} \over {\sin \widehat {AMI}}}$ $\displaystyle = {3 \over {\sin {{30}^0}}} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6$

$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle M$ luôn cách $\displaystyle I$ cố định một khoảng bằng $\displaystyle 6$.

Vậy quỹ tích $\displaystyle M$ là đường tròn tâm $\displaystyle I (1; 2)$, bán kính $\displaystyle R = 6$

Phương trình đường tròn là: $\displaystyle {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 36$.

Loigiaihay.com