Câu 6.58 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.58 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh:

LG a

\(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}};\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{4\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \pi } \right)\end{array}\)

Từ đó

\(\begin{array}{l}\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right)\sin \dfrac{\pi }{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right) = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\end{array}\)

Do \(\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}},\) ta suy ra

\(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}.\)

LG b

\(\cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có:

\(\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 2} \right)\pi }}{{11}}} \right]\),

nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b) thì

\(\begin{array}{l}B\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right) + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(B = \dfrac{1}{2}.\)

LG c

\(\cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}\)

\(=  - \dfrac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có

\(\cos \dfrac{{2k\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]\) nên gọi C là vế trái của đẳng thức câu c) thì

\(\begin{array}{l}C\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\ +  \ldots  + \left. {\left( {\sin \pi  - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(C =  - \dfrac{1}{2}.\)

LG d

\(\sin \dfrac{\pi }{{11}} + \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} +  \ldots  + \sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi D là vế trái của bất đẳng thức câu d thì (ở đây \(n = 10,\alpha  = \dfrac{\pi }{{11}}\))

\(D\sin \dfrac{\pi }{{22}} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}}\sin \dfrac{\pi }{2} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}} = \cos \dfrac{\pi }{{22}}\)

Từ đó \(D = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close