Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao

Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Xét các biểu thức

\(\begin{array}{l}S = \sin \alpha + sin2\alpha + sin3\alpha + \ldots + \sin n\alpha ,\\T = 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \ldots cosn\alpha \end{array}\)

(\(n\) là một số nguyên dương)

Chứng minh

LG a

\(S\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3, \ldots ,n,\) ta có:

\(\sin k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\)

Nên

\(\begin{array}{l}S.\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right) + \left( {\cos \dfrac{{3\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{5\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { + \ldots + \left( {\cos \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\end{array}\)

LG b

\(T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3 \ldots ,n,\) ta có:

\(\cos k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\)

nên

\(\begin{array}{l}T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\alpha }}{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { + \ldots + \left( {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right]\\ = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\alpha }}{2}\end{array}\)

Loigiaihay.com