Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng caoGiải bài tập Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Xét các biểu thức \(\begin{array}{l}S = \sin \alpha + sin2\alpha + sin3\alpha + \ldots + \sin n\alpha ,\\T = 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \ldots cosn\alpha \end{array}\) (\(n\) là một số nguyên dương) Chứng minh LG a \(S\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\) Lời giải chi tiết: Với \(k = 1,2,3, \ldots ,n,\) ta có: \(\sin k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\) Nên \(\begin{array}{l}S.\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right) + \left( {\cos \dfrac{{3\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{5\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { + \ldots + \left( {\cos \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\end{array}\) LG b \(T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\) Lời giải chi tiết: Với \(k = 1,2,3 \ldots ,n,\) ta có: \(\cos k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\) nên \(\begin{array}{l}T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\alpha }}{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { + \ldots + \left( {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right]\\ = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\alpha }}{2}\end{array}\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|