Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}};AB = a,C{\rm{D}} = a\sqrt 3 \). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.

a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.

Lời giải chi tiết

 

a) 

\(\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD(c.c.c) \cr 
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \)

Do đó \(\Delta ABJ\) cân tại J, suy ra \(IJ \bot AB\)

Chứng minh tương tự: \(IJ \bot CD\)

Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\), đặt \(I{\rm{O}} = x\) ta có đẳng thức

\(\eqalign{  & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \)

Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng

\(\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {13} } \over 4}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close