Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi \(x \in R\)

\(y = {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} + x} \right) \)

\(+ {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) - 2{\sin ^2}x\)

Lời giải chi tiết

Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp

                        \(\left( {{{\cos }^2}u} \right)' = 2\cos u\left( { - \sin u} \right).u' =  - u'.\sin 2u\)

Ta được

\(\eqalign{& y' = \left[ {\sin \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right]\cr& + \left[ {\sin \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right] - 2\sin 2x  \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) \cr&- 2\sin 2x\,\,\left( {\forall x \in R} \right) \cr} \)

Vì \(\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} =  - {1 \over 2}\) nên

                        \(y' = \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\)

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

                        \({\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}\)

Ta chứng minh được \(y = 1\). Vậy \(y' = 0\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài