Giải bài 5 trang 91 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong các hàm số: \(\displaystyle f(x) = \ln {1 \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }},g(x) = \ln {{1 + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {\cos x}},h(x) = \ln {1 \over {\cos x}}\)

Hàm số có đạo hàm là \(\displaystyle {1 \over {\cos x}}\)?

(A) \(\displaystyle f(x)\)                   (B) \(\displaystyle g(x)\)

(C) \(\displaystyle h(x)\)                   (D) \(\displaystyle g(x)\) và \(\displaystyle h(x)\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \ln \dfrac{1}{{\sin x}} = \ln {\left( {\sin x} \right)^{ - 1}} = - \ln \sin x\\\Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x}} = \dfrac{{ - \cos x}}{{\sin x}} = - \cot x\\h\left( x \right) = \ln \dfrac{1}{{\cos x}} = \ln {\left( {\cos x} \right)^{ - 1}} = - \ln \cos x\\\Rightarrow h'\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{\cos x}} = - \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x\end{array}\)

Do đó, (A), (C) và (D) sai.

Chọn đáp án (B).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
+ )\;{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} g'(x) = {\left( {\ln \dfrac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}} \right)^{'}}\\
{\left( {\dfrac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}} \right)^{'}}.\dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}
\end{array}\)

Mà: \({\left( {\dfrac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}} \right)^{'}}\)

\( = \dfrac{{{{\cos }^2}x - \left( {1 + \sin x} \right)\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\( = \dfrac{{{{\cos }^2}x + \left( {1 + \sin x} \right)\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x + \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\\
= \dfrac{{1 + \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}.
\end{array}\)

\( \Rightarrow g'(x) = \dfrac{{1 + \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{1}{{\cos x}}.\)

loigiaihay.com