Câu 5 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {1 \over {\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}\) trên đoạn \([0, 1]\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{2\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

\(f\left( 0 \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6},f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{2}{5},\) \(f\left( 1 \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{2}{5},\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Cách khác:

Xét hàm số g(x) = -x² + x + 6 với x ∈ [0, 1]

Ta có:

\(\eqalign{
& g'(x) = - 2x + 1 \cr 
& g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \)

\(\eqalign{
& g(0) = 6;\,\,\,g({1 \over 2}) = {{25} \over 4};\,\,\,g(1) = 6 \cr 
& \mathop {\min }\limits_{x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}} (x) = 6;\,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}} (x) = {{25} \over 4} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 6 \le g(x) \le {{25} \over 4}\,\,\,(\forall x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}) \cr 
& \Rightarrow {2 \over 5} \le f(x) = {1 \over {\sqrt {g(x)} }} \le {{\sqrt 6 } \over 6} \cr} \)

Vậy \(\mathop {\max}\limits_{x \in [0,1{\rm{]}}} f(x) = {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in [0,1{\rm{]}}} f(x) = {2 \over 5}\)

 Loigiaihay.com