Câu 49 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình :

\({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π).

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn\(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\
f\left( \pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\
= {\pi ^2}.\left( { - 1} \right) + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0
\end{array}\)

Vì \(f(0).f(1) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0 ; π)\) sao cho \(f(c) = 0\).

Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng \((0;\pi)\).

Loigiaihay.com