Câu 4.74 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số xác định bởi

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Trong đó \( - 1 < a < 0.\)

 

LG a

Chứng minh rằng \( - 1 < {u_n} < 0.\) với mọi n và \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm

 

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với \(n = 1.\)  Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là

                                                \( - 1 < {u_n} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Ta chứng minh nó đúng với \(n + 1.\)  Thật vậy, từ (2) suy ra

                         \(0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1\,;\,\)

Do đó

                        \(0 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1\)

                        \( - 1 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,\)

Tức là

                      \( - 1 < {u_{n + 1}} < 0.\,\)

Vì \( - 1 < {u_n} < 0\) nên \({u_{n }} +1> 0\) và \(u_n^2 > 0\)  với mọi n . Do đó từ (1) suy ra \({u_{n + 1}} < \left( {{u_n} + 1} \right) - 1 = {u_n}\) với mọi n.

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm.

 

LG b

Chứng minh rằng

                        \( - 1 < {u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n}.\)

 

Lời giải chi tiết:

Từ đẳng thức (1) suy ra

                 \({u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Từ đó suy ra

                 \(\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};\)

Do đó

                 \({1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\) với mọi n

Và từ (3), ta có

                 \({u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Đặt \({v_n} = {u_n} + 1\)  và \(q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }},\) ta có \(0 < q < 1,{v_n} > 0\)  và

                                    \({v_{n + 1}} \le q{v_n}\) với mọi n.

Từ đó ta có

\(\eqalign{
& {v_2} \le {v_1}q = \left( {a + 1} \right)q, \cr 
& {v_3} \le {v_2}q = \left( {a + 1} \right){q^2},..., \cr 
& 0 \le {v_n} \le \left( {a + 1} \right){q^{n - 1}} \cr} \)

Với mọi n . Vì \(\lim \left( {a + 1} \right).{q^{n - 1}} = \left( {a + 1} \right)\lim {q^{n - 1}} = 0\)  nên từ đó suy ra

                        \(\lim {v_n} = 0\)  và \(\lim {u_n} =  - 1.\)

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
list
close
Gửi bài