Bài 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng Δ: x – y + 2 và hai điểm O(0, 0); A(2, 0)

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2=0\) và hai điểm \(O(0; 0); \, A(2; 0).\)

LG a

Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H(x;y)\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ\), \(\overrightarrow {OH}  = (x;y)\)

\( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

\(\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \) \(\Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr 
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\)

Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\)

\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr 
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)

Vậy \(O’(-2;2)\).

Cách khác:

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc \(\Delta \).

\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT nên nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm VTCP.

\(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là VTPT của \(d\).

Mà \(d\) đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) nên \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y = 0\)

Gọi \(H = d \cap \Delta \) thì tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 1;1} \right)\)

\(O'\) đối xứng \(O\) qua \(\Delta \) hay \(H\) là trung điểm \(OO'\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = 2.\left( { - 1} \right) - 0 =  - 2\\{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2.1 - 0 = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow O'\left( { - 2;2} \right)\).

LG b

Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

 

Quan sát hình vẽ ta thấy,

\(A\) và \(O\) nằm cùng phía so với \(\Delta \) hay \(A,O'\) nằm khác phía so với \(\Delta \).

Gọi \(M' = AO' \cap \Delta \) thì \(OM' = O'M'\) do \(\Delta \) là đường trung trực của \(OO'\).

Với điểm \(M\) bất kì thuộc \(\Delta \) thì \(OM + AM = O'M + AM \ge O'A\)

\( \Rightarrow {\left( {OM + MA} \right)_{\min }} = AO'\) khi \(M \equiv M'\) là giao điểm của \(AO'\) với \(\Delta \).

\(A(2; 0); O'(-2; 2)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AO'}  = \left( { - 4;2} \right)\) là VTCP của \(AO'\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AO'}}}  = \left( {2;4} \right)\) là VTPT của \(AO'\)

Mà \(AO'\) đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 4y - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

\(M = AO' \cap \Delta \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)

Loigiaihay.com

  • Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10

    Giải bài 5 trang 93 SGK Hình học 10. Cho ba điểm A(4, 3), B(2, 7), C(-3, -8)

  • Bài 6 trang 93 SGK Hình học 10

    Giải bài 6 trang 93 SGK Hình học 10. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng 3x – 4y + 12 = 0 và 12x+5y-7 = 0

  • Bài 7 trang 93 SGK Hình học 10

    Giải bài 7 trang 93 SGK Hình học 10. Cho đường tròn (C) có tâm I(1, 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với (C) tạo với nhau một góc 600 là một đường tròn.

  • Bài 8 trang 93 SGK Hình học 10

    Giải bài 8 trang 93 SGK Hình học 10. Tìm góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 trong các trường hợp sau:

  • Bài 9 trang 93 SGK Hình học 10

    Giải bài 9 trang 93 SGK Hình học 10. Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close