Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng caoTam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng Quảng cáo
Đề bài Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \) Phương pháp giải - Xem chi tiết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Lời giải chi tiết Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC. Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay \(\beta = \widehat {ABH}\) HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay \(\gamma = \widehat {ACH}\) Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l} Mà \(BC \bot AI\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\) nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay \(\alpha = \widehat {AIH}.\) (do \(\widehat {AIH}<90^0\)). Vì ΔABC vuông ở A nên : \(\eqalign{ & {1 \over {A{I^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} \cr & \Rightarrow {{A{H^2}} \over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} \over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} \over {A{C^2}}} \cr & hay\,\,{\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \cr} \) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|