Câu 3.29 trang 90 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) , xác định bởi

\({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{{u_n^2 + 4}}{4}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Chứng minh rằng  \(({u_n})\) là dãy số không đổi.

Lời giải chi tiết

Ta cần chứng minh \({u_n} = 2\) với mọi \(n \ge 1.\) (1) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n=1\) ta có \({u_1} = 2\)

Giả sử (1) đúng với \(n=k\), khi đó  \({u_k} = 2\). Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\). Hay \({u_{k+1}} = 2\).

Thật vậy, \({u_{k+1}}=\dfrac{{u_k^2 + 4}}{4}=\dfrac{{2^2 + 4}}{4}=2\)

Vậy \({u_n} = 2\) với mọi \(n \ge 1.\)

Loigiaihay.com