Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({v_n})\) xác định bởi

\({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} =  - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\eqalign{
& {v_2} = - {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr 
& {v_3} = - {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = - {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr 
& {v_4} = - {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= - {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \({v_n} = {v_{n + 3}}\)  với mọi \(n \ge 1.\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Từ giả thiết của bài ra và kết quả của phần a) ta có \({v_1} = {v_4}.\) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \(n = k + 1.\)

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({v_n})\) và giả thiết quy nạp ta có

\({v_{k + 4}} =  - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \)

         \(=  - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

 

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close