Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \)

Thì \(\overrightarrow {AG}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AG}  = {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 6}\)

Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c  \)

               \(= {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 3}\)

Vậy \(\overrightarrow {CG'}  = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close