Giải bài 3 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện $ACB’D’$.

Lời giải chi tiết

Gọi $S$ là diện tích đáy $ABCD$ và $h$ là chiều cao của khối hộp thì thể tích của khối hộp: $\Rightarrow V = S.h$

Chia khối hộp thành khối tứ diện $ACB’D’$ và bốn khối chóp $A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC$ và $D’. DAC$.

Xét khối chóp $A.A'B'D'$ có diện tích đáy ${S_{A'B'D'}} = \dfrac{S}{2}$ và chiều cao bằng $h$. Do đó ${V_{A.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{S}{2}.h = \dfrac{{S.h}}{6}$.

Tương tự như vậy ta chứng minh được:

${V_{A.A'B'D'}} = {V_{C.C'B'D'}} = {V_{B'BAC}} = {V_{D'.DAC}}$$= \dfrac{{S.h}}{6}$

Vậy ${V_{ACB'D'}} = V -$$\left( {{V_{A.A'B'D'}} + {V_{C.C'B'D'}} + {V_{B'BAC}} + {V_{D'.DAC}}} \right)$

$= S.h - 4.\dfrac{{S.h}}{6} = \dfrac{{S.h}}{3}$.

$\Rightarrow \dfrac{V}{{{V_{ACB'D'}}}} = \dfrac{{S.h}}{{\dfrac{1}{3}S.h}} = 3$

Loigiaihay.com