Giải bài 2 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh $a$.

Lời giải chi tiết

Chia khối tám mặt đều cạnh $a$ thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh $a$ là $E.ABCD$ và $F.ABCD$.

Xét chóp tứ giác đều $E.ABCD$. Gọi $H$ là tâm hình vuông $ABCD$ ta có: $EH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

$\Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $EHA$ có: $E{H^2} = E{A^2} - A{H^2}$ $= {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$$= \dfrac{{{a^2}}}{2}$

$\Rightarrow EH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow {V_{E.ABCD}} = \dfrac{1}{3}EH.{S_{ABCD}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$

Vậy thể tích khối tám mặt đều cạnh $a$ là: $V = 2.{V_{E.ABCD}}= \displaystyle {{{a^3} \sqrt 2 } \over 3}$.

Chú ý: Hình chóp đa giác đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy.

Loigiaihay.com