Câu 29 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

$3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0$ trên $\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{& 3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 10\sin x + 1 = 0\cr& \Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 10\sin x + 4 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin x = - {1 \over 3}} \cr {\sin x = 2\,\left( {\text{ loại }} \right)} \cr} } \right. \cr}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$

Với $x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi$ thì do $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ nên:

$\begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) < k2\pi < \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right)\\ \Rightarrow - 1,23 < k2\pi < 1,91\\ \Rightarrow - 0,196 < k < 0,3\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 0,34 \end{array}$

Với $x =\pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi$ thì do $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ nên:

$\begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \pi + \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) < k2\pi < \frac{\pi }{2} - \pi + \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right)\\ \Rightarrow - 5,05 < k2\pi < - 1,91\\ \Rightarrow - 0,8 < k < - 0,3 \end{array}$

Vì k nguyên nên không có k thỏa mãn TH này.

Vậy phương trình có nghiệm gần đúng thỏa mãn là $x ≈ -0,34$

Quảng cáo

LG b

$4\cos 2x + 3 = 0$ trên $\left( {0;{\pi \over 2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} 4\cos 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 2x = \pm \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi \end{array}$

Với $x = \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi$ ta có:

$0 < x < \frac{\pi }{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi  < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) < k\pi  < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Rightarrow  - 1,21 < k\pi  < 0,36\\ \Rightarrow  - 0,39 < k < 0,115\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) \approx 1,21\end{array}$

Với $x =  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi$ ta có:

$0 < x < \frac{\pi }{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 <  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi  < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) < k\pi  < \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Rightarrow 1,21 < k\pi  < 2,78\\ \Rightarrow 0,38 < k < 0,88\end{array}$

Do dó không có k trong TH này.

Vậy $x  \approx 1,21$.

LG c

${\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0$ trên $\left( {0;\pi } \right)$

Lời giải chi tiết:

${\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cot x = 5} \cr {\cot x = - 2} \cr} } \right.$

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng $(0; π)$ là $x ≈ 0,2; x ≈ 2,68$

LG d

$5 - 3\tan 3x = 0$ trên $\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$x \in \left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right) \Leftrightarrow 3x \in \left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right).$ Với điều kiện đó, ta có :

$5 - 3\tan 3x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = {5 \over 3}$

$\Leftrightarrow 3x = \beta \Leftrightarrow x = {\beta \over 3},$ 

Trong đó $β$ là số thực thuộc khoảng $\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)$ thỏa mãn $\tan \beta = {5 \over 3};$ bảng số hoặc máy tính cho ta $β ≈ 1,03$. Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là $x ≈ 0,34$.

 Loigiaihay.com