Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:$d=5\sin 6t - 4cos6t$ $= \sqrt {41} \left( {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right)$ $= \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)$

trong đó số $α$ được chọn sao cho $\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}$

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được $α ≈ 0,675$.

Vật ở vị trí cân bằng khi $d = 0$, nghĩa là $\sin(6t – α) = 0$

$\Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}$ (với $k \in\mathbb Z$)

Ta cần tìm $k$ nguyên dương sao cho $0 ≤ t ≤ 1$

$0 ≤ t ≤ 1$ $⇔  0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1$ $\Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }$

Với $α ≈ 0,675$, ta thu được $-0,215 < k < 1,7$, nghĩa là $k\in \{0;1\}$.

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

$t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11$ (giây) và $t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64$ (giây)

Quảng cáo

LG b

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến ${1 \over {100}}$ giây).

Lời giải chi tiết:

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi $|d|$ nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu $\sin(6t – α) = ± 1$. Ta có :

$\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1$

$\Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0$

$\Leftrightarrow t= {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}$ 

Ta tìm k nguyên dương sao cho $0 ≤ t ≤ 1$

$\eqalign{ & 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr  & \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr}$

Với $α ≈ 0,675$, ta thu được $-0,715 < k < 1,2$; nghĩa là $k \in {\rm{\{ }}0;1\}$. Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

$t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left( {s} \right)$ và $t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left( \text{s} \right)$

Loigiaihay.com