Bài 28 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

Giải bài 28 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Lời giải chi tiết

Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI.

Gọi \({P_A},\,{P_B},\,{P_C}\) là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng BC, CA, AB.

Ta chứng minh rằng AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_B}{P_{C}}\).

Thật vậy, nếu ta kí kiệu \(\widehat {PAB} = \alpha ,\,\widehat {PAI} = \beta \), ta có:

\(\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {{P_C}AP} + \widehat {PAA'} = 2\alpha  + 2\beta \)

\(\eqalign{
& \widehat {A'A{P_B}} = \widehat {A'AC} + \widehat {CA{P_B}} \cr 
& = \widehat {A'AC} + \widehat {CAP} = \alpha + \alpha + 2\beta \cr 
& = 2\alpha + 2\beta . \cr} \)

Vậy \(\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {A'A{P_B}}\)

Ngoài ra, hiển nhiên \(A{P_C} = A{P_B}.\)

Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_B}{P_C}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có BB’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_C}{P_A}\) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_C}{P_A}\) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_A}{P_B}.\)

Suy ra AA’, BB’, CC’ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({P_A}{P_B}{P_C}.\)

Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.

Loigiaihay.com

  • Bài 29 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

    Giải bài 29 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A’ vuông góc với BC, qua B’ vuông góc với AC, qua C’ vuông góc với AB đồng quy.

  • Bài 27 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

    Giải bài 27 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (P) tại điểm chung duy nhất M. (Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (P) tại điểm M).

  • Bài 26 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

    Giải bài 26 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).

  • Bài 25 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

    Giải bài 25 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).

  • Bài 24 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

    Giải bài 24 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Gọi m là đường phân giác ngoài tại A của tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m, chu vi của tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close