Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).

b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải chi tiết

Cách khác:

Ta có: \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông)

\(BD \bot AA'\) (do \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\))

\( \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\) \( \Rightarrow BD \bot AC'\)

\(\left\{ \begin{array}{l}A'D \bot AD'\\A'D \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow A'D \bot \left( {ABC'D'} \right)\)

\( \Rightarrow A'D \bot AC'\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC'\\A'D \bot AC'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)\)

Lại có, \(\left\{ \begin{array}{l}BD//B'D'\\A'B//CD'\\BD,A'B \subset \left( {A'BD} \right)\\B'D',CD' \subset \left( {CB'D'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {A'BD} \right)//\left( {CB'D'} \right)\)

\( \Rightarrow AC' \bot \left( {CB'D'} \right)\)

Vậy \(AC'\) vuông góc với các mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {CB'D'} \right)\).

b) 

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AC'\).

\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AC'\) thì \(\left( P \right)\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(AC'\).

Mà \(AC'//\left( {A'BD} \right)\) và \(AC' \bot \left( {CB'D'} \right)\) nên \(\left( P \right)//\left( {A'BD} \right)//\left( {CB'D'} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \subset \left( {BDD'B'} \right)\\BD//\left( P \right)\\O \in \left( P \right) \cap \left( {BDD'B'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {BDD'B'} \right) = Ot//BD\)

Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\), qua \(O\) kẻ đường thẳng \(Ot//BD\) và cắt \(BB',DD'\) lần lượt tại các điểm \(S,P\).

Tương tự,

\(\left\{ \begin{array}{l}A'D \subset \left( {ADD'A'} \right)\\A'D//\left( P \right)\\P \in \left( P \right) \cap \left( {ADD'A'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = PQ//A'D\) với \(Q \in A'D\).

\(\left\{ \begin{array}{l}B'D \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\\B'D//\left( P \right)\\Q \in \left( P \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = QR//B'D'\) với \(R \in A'B'\).

\(\left\{ \begin{array}{l}CD' \subset \left( {CDD'C'} \right)\\CD'//\left( P \right)\\P \in \left( P \right) \cap \left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = PN//CD'\) với \(N \in CD\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \subset \left( {ABCD} \right)\\BD//\left( P \right)\\N \in \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NM//BD\) với \(M \in BC\).

Vậy thiết diện là lục giác \(MNPQRS\).

Dễ thấy, \(O\) là trung điểm của \(AC'\) nên cũng là trung điểm của \(BD'\).

\( \Rightarrow PS//BD\) thì \(P,S\) lần lượt là trung điểm của \(DD',BB'\).

Từ đó các điểm \(M,N,Q,R\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD,D'A',A'B'\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \(MN = NP = PQ\) \( = QR = RS = SM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, lục giác \(MNPQRS\) là lục giác đều.

Xét \(\Delta MON\) đều cạnh \(OM = ON = MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên có diện tích:

\({S_{MON}} = \frac{1}{2}OM.ON.\sin \widehat {MON}\) \( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\)

Vậy \({S_{MNPQRS}} = 6{S_{MON}}\) \( = 6.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Loigiaihay.com

  • Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

  • Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.

  • Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?

  • Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

  • Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close