Câu 20 trang 241 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(a,b,c,x,y,z\left( {xyz \ne 0} \right)\), luôn có

\({\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\).

b) Áp dụng. Cho \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 6\). Chứng minh rằng \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6.\)

Lời giải chi tiết

a) Cách 1. Từ đẳng thức

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2}\end{array}\)

dễ dàng suy ra

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {ax + by + cz} \right)^2}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ay = bx\\bz = cy\\az = cx\end{array} \right.\) tức là \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}.\)

Cách 2.

\(\begin{array}{l}{\left( {ax + by + cz} \right)^2} = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\\ \le {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\\ = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2y + 3z} \right)^2}\\ = {\left( {1.x + \sqrt 2 .\sqrt {2y}  + \sqrt 3 .\sqrt {3z} } \right)^2}\\ \le \left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {1 + 2 + 3} \right)\\ = 6.6 = 36.\end{array}\)  

Vì vậy \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6\)

Loigiaihay.com