Câu 17 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in Z\) và \(0 < t \le 365.\) 

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

LG a

Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

Lời giải chi tiết:

Ta giải phương trình \(d(t) = 12\) với \(t \in\mathbb Z\) và \(0 < t ≤ 365\)

Ta có \(d(t) = 12 \)

\( \Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) + 12 = 12\)

\(\Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182k\)

\( \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)

Ta lại có  

\(0 < 182k + 80 \le 365\)

\(\Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k = 0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k = 1\)) trong năm.

LG b

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Do \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \ge  - 1\) \( \Rightarrow d\left( t \right) \le 3.\left( { - 1} \right) + 12 = 9\) với mọi \(x\)

Vậy thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

\(\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\) \(\text{ với }\) \(\,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\) 

Phương trình đó cho ta  

\({\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \) 

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)

Mặt khác,\(0 < 364k - 11 \le 365 \) \(\Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\) (do \(k\) nguyên)

Vậy thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (\(9\) giờ) khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ \(353\) trong năm.

LG c

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Vì \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1 \) \(\Rightarrow d\left( t \right) \le 3.1 + 12 = 15\) nên d(t) đạt GTLN khi \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1 \)

Ta phải giải phương trình :

\(\eqalign{
& \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr 
& \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr 
& 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \) 

Vậy thành phố \(A\) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (\(15\) giờ) vào ngày thứ \(171\) trong năm.

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài