Bài 1.66 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm thuộc khoảng...

Quảng cáo

Đề bài

Tìm các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình

\({{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} } \over {\cos x}} = 4\sin x\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện xác định của phương trình \(\cos x \ne 0.\)

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\sqrt 2 \left( {\left| {\cos {x \over 2}} \right| + \left| {\sin {x \over 2}} \right|} \right) = 2\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Do \(x = \pi \) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:

1) \(x \in \left( {0;\pi } \right).\) Lúc này \(0 < {x \over 2} < {\pi  \over 2},\) kéo theo \(\cos {x \over 2} > 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\).

Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over {10}} + {{4l\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Để tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right),\) ta cần tìm k và l nguyên sao cho

\( \bullet \,\,0 < {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < \pi  \) \(\Leftrightarrow  - {1 \over 8} < k < {5 \over 8} \Leftrightarrow k = 0.\) Ta nhận \(x = {\pi  \over 6}\)

\( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi \) \( \Leftrightarrow  - {3 \over 8} < l < {7 \over 8} \Leftrightarrow l = 0.\) Ta nhận \(x = {{3\pi } \over {10}}\)

2) \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right).\) Lúc này \({\pi  \over 2} < {x \over 2} < \pi ,\) kéo theo \(\cos {x \over 2} < 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự trên, ta có

\( \bullet \,\,\pi  <  - {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < 2\pi \) \( \Leftrightarrow {7 \over 8} < k < {{13} \over 8} \Leftrightarrow k = 1.\)

Ta nhận được \(x =  - {\pi  \over 6} + {{4\pi } \over 3} = {{7\pi } \over 6}\)

\( \bullet \,\,\pi  < {\pi  \over 2} + l{{4\pi } \over 5} < 2\pi  \) \(\Leftrightarrow {5 \over 8} < l < {{15} \over 8} \Leftrightarrow l = 1.\)

Ta nhận được \(x = {\pi  \over 2} + {{4\pi } \over 5} = {{13\pi } \over {10}}\)

Kết luận: Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(x = {\pi  \over 6},x = {{3\pi } \over {10}},x = {7 \pi \over 6}\) và \(x = {{13\pi } \over {10}}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close