Bài 1.63 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.63 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình sau:...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải phương trình sau:

LG a

\(\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 \) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{6}\sin 2x + \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over {24}} + k\pi ;x = {{7\pi } \over {24}} + k\pi \) 

LG b

\(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến phương trình đã cho như sau:

\(\eqalign{
& 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x) \cos x= 3 + \cos 2x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Xét \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) thì \({\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình trên được:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right).1 + 0 - 0 = 2\sqrt 2  - 4 \ne 0\) nên \(x = k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của pt cho \({\sin ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right){\cot ^2}x + 2\sqrt 2 \cot x - 2 = 0\)

Đặt \(t = \cot x\) ta có phương trình:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right){t^2} + 2\sqrt 2 t - 2 = 0\)

Có \(\Delta ' = 2 + 2\left( {2\sqrt 2  - 4} \right) = 4\sqrt 2  - 6 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

LG c

 \({\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x\)        

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x + \frac{\pi }{3} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x =  - {\pi  \over 3} + k\pi \)

LG d

\(4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x\)\( -2\sin^2 x= {5 \over 2}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:

\(\eqalign{
& 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x\)\( -2\sin^2 x= {5 \over 2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Dễ thấy \(\sin x = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia cả hai vế cho \({\sin ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{\cot ^2}x + 8\sqrt 3 \cot x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cot x =  - 3\sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3\sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 3} + k\pi ,x = arccot (- 3\sqrt 3 ) + k\pi \).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close