Bài 1.28 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.28 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin 2x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 - 4\sqrt 3 + 3 + 1\\
= 8 - 4\sqrt 3 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow y = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left[ {\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\sin 2x + \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\cos 2x} \right]\\
= 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\\
\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}
\end{array} \right.\)

Do đó \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 }  \le y \le 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \)

Vậy giá trị lớn nhất là \(2\sqrt {2 - \sqrt 3 } ,\) giá trị nhỏ nhất là  \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\)

LG b

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x \)

\(\begin{array}{l}
= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}.2\sin x\cos x\\
= 1 - \sin 2x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x
\end{array}\)

\(= 1 + {1 \over 2}\sin 2x + 2\cos 2x.\)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 2x + \frac{4}{{\sqrt {17} }}\cos 2x} \right)\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha\) thỏa mãn 

\({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\
\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.}\)

Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\) nên \( - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
- \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le 1 + \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le y \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \(1 + {{\sqrt {17} } \over 2}\) và  \(1 - {{\sqrt {17} } \over 2}\).

LG c

\(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr 
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)

\( =  - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài