Bài 10 trang 107 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho $a>0, \, b>0$. Chứng minh rằng: ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b.$

Lời giải chi tiết

Cách 1: Sử dụng BĐT Cô - si:

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Cách 3: Đặt ẩn phụ kết hợp BĐT Cô - si

Đặt $x=\sqrt a, y = \sqrt b$ (với $x>0$ và $y>0$) ta được: 

${a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y}; \, \, {b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}$

Suy ra: ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}$$= {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}$ (1)

Mà $x^2+y^2≥ 2xy$  (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên $x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔$ ${{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1$

Do đó (1) ${{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y$

$⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \,(đpcm).$

Loigiaihay.com