Bài 1 trang 126 SGK Giải tích 12

LG a

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên một khoảng

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực $R$

Hàm số $F(x)$ gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $∀x ∈ K$ ta có $F’(x) = f(x).$

LG b

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Sử dụng công thức: $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$ hoặc $\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} }$

Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x^3- 2x) lnx$

Giải

Đặt $\displaystyle u = lnx\Rightarrow u' = {1 \over x}$ 

$\displaystyle v' = 3{x^3} - 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} - {x^2}.$

Suy ra: 

$\eqalign{ & \int {f(x)dx = ({3 \over 4}} {x^4} - {x^2})\ln x - \int ({{3 \over 4}} {x^3} - x)dx \cr  & = ({3 \over 4}{x^4} - {x^2})\ln x - {3 \over {16}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr}$

Chú ý: 

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần dựa trên cơ sở định lí:

Nếu hai hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì :

$\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} }$ (3)

Để tính nguyên hàm từng phần ta cần phân tích $f(x)$ thành $g(x).h(x)$,

- Chọn một nhân tử đặt bằng $u$ còn nhân tử kia đặt là $v’$

- Tìm $u’$ và $v$,

- Áp dụng công thức trên, ta đưa nguyên hàm ban đầu về một nguyên hàm mới đơn giản hơn.

Loigiaihay.com