Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12

LG a

a) $f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

Rút gọn hàm số $f(x)$ và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)$ $=6{x^3}-11{x^2} +6x-1.$

Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là: $F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}$

$= 6.\dfrac{{{x^4}}}{4} - 11.\dfrac{{{x^3}}}{3} + 6.\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C$ $= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.$

LG b

b) $f(x) = \sin 4x \cos^2 2x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.\cos^2 2x$ $\displaystyle = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}$
$\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)$

$\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x)$

Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là: 

$\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 4x}}{4} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 8x}}{8}} \right) + C\\= - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}$

LG c

c) $\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}$

Phương pháp giải:

Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$f\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}$ $= \dfrac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$ $= \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$ $= \dfrac{{1 - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{{1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$ $= \dfrac{1}{{2\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{1}{{2\left( {1 - x} \right)}}$ $= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)$

Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là: 

$\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)} dx\\ = \dfrac{1}{2}\left( {  \ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - x} \right| + C} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C. \end{array}$

LG d

d) $f(x) = (e^x- 1)^3$

Phương pháp giải:

Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa $e^x.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1$

Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là

$\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C. \end{array}$

Loigiaihay.com