Bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12

LG a

a) Tính diện tích hình D

Phương pháp giải:

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số $y=f(x);$ $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a; \, \, x=b \, (a<b)$ có diện tích được tính bởi công thức:  $S = \displaystyle \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$\eqalign{ & 2\sqrt {1 - {x^2}} = 2(1 - x) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - x \ge 0 \hfill \cr  1 - {x^2} = {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr  2{x^2} - 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr  \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Đồ thị của hàm số $y = 2\sqrt {1 - {x^2}}$ là một nửa elip ${x^2} + \dfrac {y^2} 4 = 1$ với $y ≥ 0.$

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

$\eqalign{ & S = \int_0^1 {\left[ {2\sqrt {1 - {x^2}} - 2(1 - x)} \right]} dx \cr  & = 2\left[ {\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx - \int_0^1 {(1 - x)dx} } } \right] \cr}$

Tính $\displaystyle  \int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx$:

Đặt $x = \sin t$ , ta có: $dx = \cos t dt$; $x=0 \Rightarrow t= 0$; $x=1 \Rightarrow t={\pi  \over 2}$

Suy ra:

$\eqalign{ & \int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx = \int_0^{{\pi \over 2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .\cos tdt \cr  & = \int_0^{{\pi \over 2}} {{\mathop{\rm \cos t}\nolimits} .\cos tdt = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}tdt} } \cr  & = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {(1 + \cos 2t)dt = {1 \over 2}} \left[ {t + {1 \over 2}\sin 2t} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 4} \cr  & = \int\limits_0^1 {(1 - x)dx}  = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2} \cr  & \Rightarrow D = 2\left({\pi \over 4} - {1 \over 2}\right) = {\pi \over 2}-1 \cr}$

LG b

b) Quay hình D xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Phương pháp giải:

+) Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)$ quanh $Ox$ là $V = \pi \displaystyle\int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình trên ta có thể tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} V = \pi \displaystyle\int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2\left( {1 - x} \right)} \right)}^2}} \right]dx} \\ = \pi \displaystyle\int\limits_0^1 {\left[ {4\left( {1 - {x^2}} \right) - 4{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]dx} \end{array}$

$\eqalign{ &= 4\pi \displaystyle\int_0^1 {\left[ {(1 - {x^2}) - (1 - {x})^2} \right]} dx \cr  & = 8\pi \displaystyle\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 \cr  & = 8\pi \left({1 \over 2} - {1 \over 3}\right) = {{4\pi } \over 3} \, \, (đvdt). \cr}$

Loigiaihay.com