Giải bài 4 trang 80 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứa trục $Ox$ và điểm $P(4 ; -1 ; 2)$;

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $(P)$ chứa các vecto  $\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v  \Rightarrow$ VTPT của $(P)$ là:  $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)$ có dạng:  $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua $P$ và chứa trục $Ox$, thì $(α)$ qua điểm $O(0 ; 0 ; 0)$ và $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  \bot \overrightarrow {OP} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  \bot \overrightarrow i$.

Khi đó $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ]$ $= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|} \right)$ $=(0 ; 2 ; 1)$ là vectơ pháp tuyến của $(α)$.

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $0\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $2y + z = 0$.

LG b

b) Chứa trục $Oy$ và điểm $Q(1 ; 4 ;-3)$;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(β)$ qua điểm $Q(1 ; 4 ; -3)$ và chứa trục $Oy$ thì $(β)$ qua điểm $O( 0 ; 0 ; 0)$ có $\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)$ và $\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)$ là cặp vectơ chỉ phương.

Ta có VTPT của $(β)$ là:$\overrightarrow {{n_\beta }}$ $= \left[ {\overrightarrow {OQ} ,\;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {3;\;0;\;1} \right).$

Phương trình mặt phẳng $(β)$ có dạng : $3\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $3x + z = 0$.

LG c

c) Chứa trục $Oz$ và điểm $R(3 ; -4 ; 7)$;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(ɣ)$ qua điểm $R(3 ; -4 ; 7)$ và chứa trục $Oz$ nên nó đi qua $O(0;0;0)$ và nhận cặp vectơ $\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)$ và $\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {OR} ,\;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&7\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}7&3\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\0&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( { - 4;\; - 3;\;0} \right)$ $= - \left( {4;\;3;\;0} \right).$

Chọn $\overrightarrow {{n_\gamma }} =\left( {4;\;3;\;0} \right)$, phương trình mặt phẳng $(ɣ)$ có dạng: $4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $4x + 3y = 0$.

Loigiaihay.com