Giải bài 5 trang 80 SGK Hình học 12

LG a

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A, \, \, B$ và $C$ có VTPT:  $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)$ có dạng:  $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(ADC)$ đi qua $A(5 ; 1 ; 3)$ và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)$ và $\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)$.

Ta có:: $\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]$ $= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$ $= (-2 ; -1 ; -1).$

Chọn $\overrightarrow {{n_{\left( {ACD} \right)}}} =(2;1;1)$.

Phương trình $(ACD)$ có dạng: $2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0$ hay $2x + y + z - 14 = 0$.

Tương tự ta có :$\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)$, $\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)$ và

$\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )$

$= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).$

Chọn $\overrightarrow{n_{(BCD)}}=(6;5;3)$ là VTPT của mặt phẳng $(BCD)$.

Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ có dạng: $6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0$ hay $6x + 5y + 3z - 42 = 0$.

LG b

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $( α )$ qua cạnh $AB$ và song song với $CD$ thì $( α )$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)$ , $\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

VTPT của  mặt phẳng $(α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ]$ $= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)$ $= (10 ; 9 ; 5).$

Phương trình mặt phẳng $( α )$ có dạng : $10\left( {x - 5} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0$ hay $10x + 9y + 5z - 74 = 0$.

Loigiaihay.com