Bài tập 4 trang 152 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có $\widehat B = 120^\circ$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác MBNPDQ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\widehat A + \widehat B = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía và AB // CD)

$\Rightarrow \widehat A + {120^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {60^0}$

$\Delta ABD$ cân tại A $\left( {AB = AD} \right)$ có $\widehat A = {60^0}$ $\Rightarrow \Delta ABD$ đều

M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD (gt)

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình của tam giác ABD $\Rightarrow MQ = {1 \over 2}BD$

N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD (gt)

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của tam giác BCD $\Rightarrow NP = {1 \over 2}BD$

Mà $BD = AB\,\,(\Delta ABD$ đều) $\Rightarrow MQ = NP = {{AB} \over 2}$

Hình thoi ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên $MB = BN = PD = QD = {{AB} \over 3}$

Mặt khác $MQ = NP = {{AB} \over 2}$. Do đó $MB = BN = PD = QD = MQ = NP$

$\Rightarrow$ Đa giác MBNPDQ là lục giác đều.

Loigiaihay.com