Bài tập 30 trang 137 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Ở hình 70, cho biết ABCD là một hình vuông. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt trên AB, BC, CD, DA sao cho \(MB = NC = PD = QA.\) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(AB = BC = CD = AD\) (ABCD là hình vuông)

\(\eqalign{  & MB = NC = DP = AQ\,\,\left( {gt} \right)  \cr  &  \Rightarrow AM = BN = CP = DQ \cr} \)

Xét \(\Delta MBN\) và \(\Delta NPC\) có :

\(MB = NC\,\,\left( {gt} \right)\)

\(BN = PC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {MBN} = \widehat {NCP}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MBN = \Delta NCP\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MN = NP\) và \(\widehat {MNB} = \widehat {NPC}\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\Delta QAM = \Delta PDQ;\,\,\Delta MBN = \Delta QAM\)

\( \Rightarrow QM = PQ,\,\,MN = QM \Rightarrow MN = NP = QM = PQ\).

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác \(\widehat {MNB} + \widehat {CNP} = \widehat {NPC} + \widehat {CNP} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MNP} = {90^0}\)

Hình thoi MNPQ có \(\widehat {MNP} = {90^0}\) nên là hình vuông.

Loigiaihay.com