Giải bài 3 trang 90 SGK Hình học 12

LG a

a) d: $\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.$ và     d': $\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.$ ;

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi $\overrightarrow a ;\,\overrightarrow {a'}$ lần lượt là VTCP của d và d', ${M_1} \in d,\,\,{M_2} \in d'$.

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d,\,\,M \notin d'\end{array} \right.\,$.

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là $\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne  \overrightarrow 0$ và $\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0$.

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: $\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \ne 0$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d$ đi qua $M_1( -3 ; -2 ; 6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua $M_2( 5 ; -1 ; 20)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)$.

Ta nhận thấy $\overrightarrow{u_{1}}$, $\overrightarrow{u_{2}}$ không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right)$ ; $\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14)$

Mà $\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.14) = 0$ nên $d$ và $d'$ cắt nhau.

Cách khác:

Xét hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.$

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có $2t = 6 => t = 3$, thay vào (1) có $t' = -2$.

Từ đó $d$ và $d'$ có điểm chung duy nhất $M(3 ; 7 ; 18)$. Do đó d và d' cắt nhau tại M.

LG b

b) d: $\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.$ và     d':  $\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.$

Lời giải chi tiết:

Ta có : $\overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)$ là vectơ chỉ phương của d và $\overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)$ là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy $\overrightarrow{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M(1 ; 2 ; 3) ∈d$, thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $d'$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 =  - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \frac{3}{2}\\t' =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {VN} \right)$

Vậy $M \notin d'$ nên $d$ và $d'$ song song.

Loigiaihay.com