Giải bài 6 trang 90 SGK Hình học 12

Đề bài

Tính khoảng cách giữa đường thẳng: $\Delta :\left\{ \matrix{x = - 3 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.$

$\text {với mặt phẳng} \, (α) : 2x - 2y + z + 3 = 0$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $\displaystyle ∆$ qua điểm $\displaystyle M(-3 ; -1 ; -1)$ có vectơ chỉ phương  $\displaystyle \overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)$.

Mặt phẳng $\displaystyle (α)$ có vectơ pháp tuyến $\displaystyle \overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)$.

Ta có $\displaystyle M ∉ (α)$ và $\displaystyle \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0$ nên $\displaystyle ∆ // (α)$.

Do vậy  $\displaystyle d(∆,(α)) = d(M,(α))$

= $\displaystyle {{| - 6 + 2 - 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}$.

Cách khác:

Có thể chứng minh $\displaystyle d \,//\left( \alpha  \right)$ bằng cách:

Xét phương trình:

$2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0 \\ ⇔ 0t \, \,– 2 = 0$

Phương trình vô nghiệm

$⇒ (Δ) // (α)$.

Loigiaihay.com