Giải bài 10 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $1$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến các mặt phẳng $(A'BD)$ và $(B'D'C)$.

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ;  0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)$

Khi đó $B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)$.

Phương trình mặt phẳng $(A'BD)$ có dạng: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1$ $\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.

$\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)$ ; $\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)$

Mặt phẳng $(B'D'C)$ qua điểm $C$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )$ hay $\overrightarrow {n}=(1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến 

Phương trình mặt phẳng $(B'D'C)$ có dạng: $x-1 + y-1 + z  = 0$ $\Leftrightarrow x+y+z-2=0$

Vậy:

$\begin{array}{l}d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\d\left( {A;\left( {B'D'C} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}$

Loigiaihay.com