Bài 91 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 91 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho parabol \((P): {y^2} = x\) và hai điểm \(A(1 ; -1), B(9 ; 3)\) nằm trên \((P)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cung \(AB\) của \((P)\) (phần của \((P)\) bị chắn bởi dây \(AB\)). Xác định vị trí của \(M\) trên cung \(AB\) sao cho tam giác \(MAB\) có diện tích lớn  nhất.

 

Lời giải chi tiết

(h.123).

 

Phương trình đường thẳng \(AB: x-2y-3=0.\)

Vì \(M(x ; y)\) nằm trên cung \(AB\) của \((P)\) nên \( - 1 \le y \le 3\).Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{MAB}} =  \dfrac{1}{2}AB.d(M ; AB)\\            =     \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(3 + 1)}^2}} . \dfrac{{|x - 2y - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\            = 2.|x - 2y - 3| = 2|{y^2} - 2y - 3|\end{array}\)

Ta có \(f(y) = {y^2} - 2y - 3 \)

\(= {(y - 1)^2} - 4 \ge  - 4\).

Suy ra \(f(y)\) nhỏ nhất bằng \(-4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Mặt khác, \(f(-1)=f(3)=0\). Do đó trên đoạn \([-1 ; 3],\) hàm  số \(|{y^2} - 2y - 3|\) lớn nhất bằng \(4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Vậy \(S_MAB\) lớn nhất bằng \(8\) khi và chỉ khi \(M=(1 ; 1).\)

Loigiaihay.com

 

Xem thêm tại đây: Bài 7. Đường parabol
Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài