Bài 85 trang 109 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2AD$.  Gọi $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, CD$. Gọi $M$ là giao điểm của $AF$ và $DE$, $N$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.

a) Tứ giác $ADFE$ là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác $EMFN$ là hình gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=CD,AD=BC, AB//CD$

Lại có $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, CD$ nên $AE=EB=\dfrac{AB}2$, $DF=FC=\dfrac{DC}2$

Lại có $AB=2AD$ 

Suy ra $AE = EB = BC = CF = FD = DA$

a) Xét tứ giác $ADFE$ có:

$AE // DF$ (do $AB//CD$), $AE = DF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác $ADFE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành $ADFE$ có $\widehat{A} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

Hình chữ nhật $ADFE$ có $AE = AD$ (chứng minh trên) nên nó là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

b) Xét tứ giác $DEBF$ có:

$EB // DF$ (do $AB//CD$),  $EB = DF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác $DEBF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

$\Rightarrow$ $DE // BF$ (tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác $AECF$ có:

$EA // CF$ (do $AB//CD$), $EA = CF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AECF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

$\Rightarrow$ $AF // EC$ (tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác $EMFN$ có: $ME//NF,MF//NE$ (do $DE // BF,AF//EC$ (chứng minh trên))

$\Rightarrow$ Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Theo câu a, $ADFE$ là hình vuông nên $ME = MF, ME  ⊥ MF$ (tính chất hình vuông)

Hình bình hành $EMFN$ có $\widehat{M} = 90^0$ nên là hình chữ nhật, lại có $ME = MF$ nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

Loigiaihay.com