Bài 8 trang 155 SGK Đại số 10

Đề bài

Rút gọn biểu thức \(\displaystyle A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \cos 3x + \cos5x}}\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sin x + \sin 3x + \sin 5x \\= (\sin 5x + \sin x) + \sin 3x\\= 2\sin {{5x + x} \over 2}.\cos {{5x - x} \over 2} + \sin 3x \\= 2\sin 3x  \cos 2x + \sin 3x\\= \sin 3x (2\cos 2x + 1) \, \, \, \, (1)\) 

\( \cos x + \cos3x + \cos5x \\= (\cos 5x + \cos x )+\cos3x \\ = 2\cos \dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}+ \cos3x \\= 2\cos3x . \cos2x + \cos3x \\= \cos3x (2\cos2x + 1) \, \, \, (2)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(A = \dfrac{{\sin 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}\) \(= {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)

Vậy \(A= \tan 3x.\)

Loigiaihay.com