Bài 7.7 trang 36 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA \( \bot \) (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM \( \bot \) (SBC), AN \( \bot \) (SCD), SC \( \bot \) (AMN).

Lời giải chi tiết

\(\left. \begin{array}{l} BC \bot AB\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AB \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \)

\(\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\), mà \(AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

\(\left. \begin{array}{l} CD \bot AD\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AD \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \)

\(\Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\), mà \(AN \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AN\).

\(\left. \begin{array}{l} AM \bot SB\\AM \bot BC\\SB \cap BC = \left\{ B \right\}\end{array} \right\}\)

\(\Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\), mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SC \bot AM\).

\(\left. \begin{array}{l} AN \bot SD\\AN \bot CD\\SD \cap CD = \left\{ D \right\}\end{array} \right\}\)

\(\Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right)\), mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SC \bot AN\).

\(\left. \begin{array}{l} AM \bot SC\\AN \bot SC\\AM \cap AN = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right)\).