Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng caoChứng minh các bất đẳng thức: Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chứng minh các bất đẳng thức LG a \(|a + b| < |1 + ab|\) với \(|a| < 1; |b| < 1\) Phương pháp giải: Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: Ta có: \(|a + b| < |1 + ab|\)\( ⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2\) \( \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}\) \(⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0\) \(⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0\) \(⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0\) Vì \(\begin{array}{l} Vậy với \(|a| < 1; |b| < 1\) thì \(|a + b| < |1 + ab|\) LG b \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\) với mọi n ∈ N* Phương pháp giải: Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\)\( = \dfrac{1}{{2n}}\) Do đó: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \)\(\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \)\(\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \)\(n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\) Vậy ta được điều phải chứng minh. LG c \(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) với mọi \(a ≥ 0; b ≥ 0\). Khi nào có đẳng thức? Phương pháp giải: Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng. Lời giải chi tiết: \(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\)\( = \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên \(\left\{ \begin{array}{l} \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Suy ra \(\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\) \(\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) Vậy ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0\)hoặc \(b = 0\) hoặc\(a = b = 0\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|