Bài 7.16 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA $\bot$ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) $\bot$  (ABC) và (SAH) $\bot$ (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat {ABC} = {30^0},AC = a,SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A]

Lời giải chi tiết

a) $SA \bot \left( {ABC} \right);SA \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$

$\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AH \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

b) Ta có $AH \bot BC,BC \bot SH\left( {BC \bot \left( {SAH} \right)} \right)$

$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \left( {SH,AH} \right) = \widehat {SHA}$

Xét tam giác ABC vuông tại A có

$\widehat {ABC} = {30^0} \Rightarrow \widehat {ACH} = {60^0}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có

$\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AH = a.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác SHA vuông tại A có

$\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}:\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1 \Rightarrow \widehat {SHA} = {45^0}$

Vậy $\left[ {S,BC,A} \right] = {45^0}$