Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Sự biến thiên:

$\eqalign{ & y'  = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr  & y' = 0  \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;0)$ và $(2; + \infty )$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ và $(1;2)$

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$, $y_{CĐ}=1$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y_{CT}=7$

Giới hạn:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty$

Tiệm cận đứng là: $x=1$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr  & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr}$

Tiệm cận xiên là: $y=2x+1$

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt $Oy$ tại điểm $(0;-1)$

LG b

Với các giá trị nào của m đường thẳng $y = m – x$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

$\eqalign{ & {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {m - x} \right) \cr  & \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 =  - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\cr&  \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \cr}$

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ f\left( 1 \right) \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 2} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\ {3.1^2} - \left( {m + 2} \right).1 + m + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 8m - 8 > 0\\ 2 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\left( 2 \right)$

LG c

Gọi $A$ và $B$ là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi $m$ biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm $A, B$ là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm $M$ của $AB$ là: ${x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}$

Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên ${y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}$

Khử $m$ từ hệ 

$\left\{ \matrix{ {x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr  {y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.$ ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 6{x_M} = m + 2\\ 6{y_M} = 5m - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 6{x_M} - 2\\ 6{y_M} = 5.\left( {6{x_M} - 2} \right) - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 6{x_M} - 2\\ 6{y_M} = 30{x_M} - 12 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 6{x_M} - 2\\ {y_M} = 5{x_M} - 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $M$ nằm trên đường thẳng $y = 5x -2$

Vì $m$ chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

$m < 4 - 2\sqrt 6$ $\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6$ $\Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6$ $\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}$

$m > 4 + 2\sqrt 6$ $\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6$ $\Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6$ $\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}$

Vậy tập hợp các trung điểm $M$ của đoạn $AB$ là phần của đường thẳng $y = 5x -2$ với ${x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}$ hoặc ${x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}$

Loigiaihay.com