Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Tìm $a$ và $b$ biết rằng đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)$ và tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $O(0;0)$ có hệ số bằng $-3$.

Lời giải chi tiết:

$y' = {{\left( {2ax - b} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {a{x^2} - bx} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{a{x^2} - 2ax + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Đồ thị $(C)$ đi qua $A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)$ $\Leftrightarrow y\left( { - 1} \right) = {5 \over 2} \Leftrightarrow {{a + b} \over { - 2}} = {5 \over 2}$ $\Leftrightarrow a + b =  - 5\,\,\,\left( 1 \right)$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại $O(0;0)$ có hệ số góc bằng $-3$ khi và chỉ khi $y’(0) = -3$ $\Leftrightarrow \frac{{a{{.0}^2} - 2a.0 + b}}{{{{\left( {0 - 1} \right)}^2}}} =  - 3$ $\Leftrightarrow b =  - 3\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $a = -2; b = - 3$.

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của $a$ và $b$ đã tìm được.

Lời giải chi tiết:

Với $a = -2; b = - 3$ ta có: $y = {{ - 2{x^3} + 3x} \over {x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y' = {{ - 2{x^2} + 4x - 3} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D$

Hàm số nghịch biến trên khoảng: $( - \infty ;1)$ và $(1; + \infty )$

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to  {1^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to   {1^ + }}  =  + \infty$

Tiệm cận đứng là: $x=1$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ - 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} - x}} = - 2 \cr  & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y + 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{ - 2{x^2} + 3x} \over {x - 1}} + 2x} \right) = 1 \cr}$

Tiệm cận xiên là: $y=-2x+1$

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;0)$ và $\left( {{3 \over 2};0} \right)$

Loigiaihay.com