Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:

\({d^2} = {R^2} - 2Rr\).  ( Hệ thức Ơ-le)

Lời giải chi tiết

(h.58).

 

Xét tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O ; R)\) và ngoại tiếp đường tròn \((I ; r)\).

Gọi \(D, E\) lần lượt là điểm chính giữa cung \(\stackrel\frown {BC}\) và cung \(\stackrel\frown {AC}\) thì \(OD \bot BC ,  \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\).

Mặt khác , ta có

\(\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {BD}\) +sđ \(\stackrel\frown {AE}\)) \)

\(= \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\stackrel\frown {DC}\) + sđ \(\stackrel\frown {EC}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {DCE}\) ).

Vậy \(\widehat {BID} = \widehat {IBD}\), suy ra \(ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}\).

Trong tam giác OID ta có \(O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO} \).\( \Rightarrow   O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} \)    (với \(IH \bot OD\)).

Dễ thấy

\(\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}  = DO.(DJ + JH)\)

\(= R\left( {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right) \)

\(= R\left( {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right)\)

\(= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr\).

Từ đó suy ra \({d^2} = {R^2} - Rr\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close