Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(H)$ của hàm số: $y = {{x + 2} \over {2x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$

+) Sự biến thiên:

$y' = {{ - 3} \over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)$ và $\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)$

Giới hạn:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ + }}  =  + \infty$

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: $x={ - {1 \over 2}}$

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  = {1 \over 2}$

Tiệm cận ngang $y={1 \over 2}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Ox$ tại điểm $(-2;0)$

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;2)$

LG b

Chứng minh rằng đường thẳng $y = mx + m - 1$ luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y = mx + m - 1$ $\Leftrightarrow y + 1 = m\left( {x + 1} \right)$

Tọa độ điểm cố định $A$ của đường thẳng là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{ x + 1 = 0 \hfill \cr  y + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  y = - 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $A(-1;-1)$

Thay tọa độ của A vào công thức hàm số ta thấy: $- 1 = \frac{{ - 1 + 2}}{{2.\left( { - 1} \right) + 1}}$ (đúng) nên $A$ thuộc đường cong $(H)$.

Cách khác:

Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua là I.

Ta có $I\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)$ thay vào phương trình y=mx+m-1 được:

Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi:

Vậy đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.

LG c

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong $(H)$ tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong $(H)$ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & m\left( {x + 1} \right) - 1 = {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left[ {m\left( {x + 1} \right) - 1} \right] = x + 2 \cr  & \Leftrightarrow m\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right) = x + 2 \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m} \right) - 3x - 3 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m} \right) - 3\left( {x + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m - 3} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  f\left( x \right) = 2mx + m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Hai nhánh của $(H)$ nằm về hai bên của tiệm cận đứng $x =  - {1 \over 2}$

Điểm $A(-1;-1)$ thuộc nhánh trái của $(H)$ vì ${x_A} =  - 1 <  - {1 \over 2}$

Đường thẳng cắt $(H)$ tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm $x <  - {1 \over 2}$ và $x \ne  - 1$ tức

$\left\{ \matrix{ 2m \ne 0 \hfill \cr  x = {{ - m + 3} \over {2m}} < - {1 \over 2} \hfill \cr  f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr  - {1 \over 2}+{3 \over {2m}} < - {1 \over 2}  \hfill \cr  - m - 3 \ne 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{3}{{2m}} < 0\\ - m \ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m < 0\\ m \ne - 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m < - 3\,\, \text{hoặc}\, - 3 < m < 0.$

Loigiaihay.com